Partie B : démonstrations

Rappels

Pour tous nombres réels \(A\) et \(B\), \(\text{e}^{A+B} = \text{e}^A \times \text{e}^B\).
Pour tous nombres réels \(x\) et \(y\), \(\text {e}^x = \text{e}^y\) si et seulement \(x = y\). 

On veut démontrer que, pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, on a \(\text{ln}(a\times b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)\).

1. Réordonner les phrases suivantes afin de construire une démonstration.
    a. On a \(\text{ln}(a) = A\) et \(\text{ln}(b) = B\).
    b. D'autre part \(\text{e}^{\text{ln}(a \times b)}=a\times b\).
    c. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et \(A\) et \(B\) deux réels tels que \(\text{e}^A = a\) et \(\text{e}^B=b\).
    d. On en déduit \(\text{e}^{\text{ln}(a)+\text{ln}(b)}=a\times b\).
    e. On conclut \(\text{ln}(a\times b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)\).
    f. D'une part \(\text{e}^{\text{ln}(a)+\text{ln}(b)}=\text{e}^{\text{ln}(a)}\times \text{e}^{\text{ln}(b)}\).

2. En remarquant que, pour tout \(b\) réel strictement positif, \(1=b\times \dfrac{1}{b}\), déduire que \(\text{ln}\Big(\dfrac{1}{b}\Big)=-\text{ln}(b)\). Que dire alors de \(\text{ln}\Big(\dfrac{a}{b}\Big)\) avec \(a\) réel strictement positif ?

3. Soit \(a\) un réel strictement positif et \(n\) un entier relatif. Que dire de \(\text{ln}(a^n)\) ?